Mayo

Martes 3 de Mayo

Ecuacion del haz de planos

Un haz de planos es un conjunto de planos que se intersecan en una misma recta.

Llamamos haz de planos de arista una recta r dada, al conjunto de los planos que contienen a dicha recta r. Es decir, es la recta donde cortan los planos como podemos ver en la IMAGEN

 

Hemos visto que para un plano π: A”x+B”y+C”z+D”=0 contenga a la recta r debe cumplirse que el rango de la matriz formada por las filas (A,B,C), (A’,B’,C’) (A”,B”,C”) tiene que coincidir con el rango de la matriz ampliada, formada por las filas (A,B,C,D), (A’,B’C’,D’) y la fila (A”,B”,C”,D”), este rango es 2. Por tanto, (A”,B”,C”,D”) es combinación lineal de los otros dos vectores. De esta manera obtenemos el haz de planos de arista la recta r: (Ax+By+Cz+D)+λ(A’x+B’y+C’z+D’)=0, con λ una constante real no nula.

Ecuación Vectorial de la superficie Esférica

El lugar geométrico de una esfera, es el lugar de un punto en el espacio que 
se mueve de tal manera que su distancia a un punto fijo es siempre constante.
El punto fijo se llama centro y la distancia radio.

Su ecuación es muy parecida a la de la circunferencia, esta es:
(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r², 
donde r es el radio y (a, b, c) es el centro del cual hablamos.

En el caso de la circunferencia hablamos de recta tangente, pero en el caso de la esfera hablaremos del plano
 tangente a una esfera, el cual se obtiene buscando el vector que describe el centro con el punto de contacto 
y determinar 
la ecuación de la normal al plano.
La forma general de la ecuación de la esfera es : x² + y² +z² + Gx + Hy + Iz + K = 0  

Ejercicio

Encuentre una ecuación de la esfera con centro en (-2,4,-6) que además

a) Sea tangente en yz
b) Sea tangente en xz
c) Sea tangente en xy

-Sabemos que la ecuación de la esfera es

(x-h)^2+(y-k)^2+(z-l)^2=r^2

h,k y l ya los conocemos porque el centro de la esfera es un dato dado y no está desplazado
queremos que los planos sean tangente a la esfera, por tanto sabemos que ocuparemos las
 ecuaciones
x=0, y=0 y z=0

sabemos que la distancia de cualquiera de los Planos al centro de la esfera es el radio por tanto

AX+BY+CZ+D /raiz(A^2+B^2+C^2)

2=r
4=r
6=r


así que las ecuaciones son:

a) (x+2)^2+(y-4)^2+(z+6)^2=4
b) (x+2)^2+(y-4)^2+(z+6)^2=16
c) (x+2)^2+(y-4)^2+(z+6)^2=36 

Cilindros y Superficies Cuádricas

Cilindro: Superficie generada por las líneas rectas llamadas generatrices que intersecan a una curva plana.

Ejemplos:

z = x^2

Son superficies que tienen por ecuación:

Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0

Dependiendo de los valores de los coeficientes generamos: esferas, elipsoides, hiperboloides...etc.

Para realizar un análisis gráfico de las ecuaciones de superficie se debe realizar:

1. Intersección con los ejes de coordenadas
2. Intersección con los planos coordenados
3. Intersección de las superficies  con planos paralelos a los planos coordenados

4.Bosquejo de la gráfica de la superficie.

Referencias:
*http://calculoymatematicasdiscretas.blogspot.com/p/el-plano.html
*https://sites.google.com/site/angelopex/quinto-parc/cilindros-y-superficies-cuadraticas

*Anotaciones en clase

Jueves 5 de Mayo

* Realización de ejercicios sobre análisis gráfico de las ecuaciones de superficies

Recordando los pasos para el análisis.

1. Intersección con los ejes de coordenadas
2. Intersección con los planos coordenados
3. Intersección de las superficies  con planos paralelos a los planos coordenados

4.Bosquejo de la gráfica de la superficie.

Algunos ejemplos de ecuaciones de superficies son:

Referencia:

*https://sites.google.com/site/angelopex/quinto-parc/cilindros-y-superficies-cuadraticas

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Martes 10 de Mayo

Primera evaluación

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Jueves 12 de Mayo

Funciones Vectoriales de Variable Real

Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector.

Donde x(t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentes de variable real del parámetro t. 

Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t). La función vectorial también se puede encontrar representada como:

 Por tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma:

Dominio

El dominio de una función vectorial está dado por la intersección de los dominios de cada una de las funciones componentes, es decir:

Representación Gráfica

La representación gráfica de una función vectorial es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la función para toda t que pertenece al dominio de la función.

Un punto de la curva C tiene la representación cartesiana (x,y,z) donde:

Las cuales se llaman ecuaciones paramétricas de C. Al asignar números reales a t se elimina el parámetroy se obtienen ecuaciones cartesianas de C.

Referencias:

*http://cursos.aiu.edu/Matematicas%20Superiores/PDF/Tema%203.pdf

*http://es.slideshare.net/daemon1309/funciones-vectoriales-26902786

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Martes 17 de Mayo

Operaciones con Funciones Vectoriales

Límite de Una Función Vectorial

Dada una función vectorial 

Esto significa que cuando t tiende al valor de a, el vector:se acerca más y más al vector ℓ .
Para que exista el límite de la función, debe existir el límite de cada una de las funciones componentes. 

Continuidad 

Sea :

Se dice que es continua en a sí y sólo si:

Teorema: Una función con valores vectoriales r(t) es continua en t = a si y sólo si sus funciones componentes
f ,g y h son continuas en t = a.


Derivación de Funciones Vectoriales

Sea la función vectorial entonces diremos quees la derivada de dicha función y se define mediante:

Para valores cualesquiera de t para los que existe el límite.
Cuando el límite existe para t = a se dice que es derivable en t = a.
Teorema, Sea una función vectorial y supongamos que sus funciones componentes f ,g y h son todas  derivables para algún valor de t, entonces es derivable en ese valor de t y su derivada está dada por:

 

Propiedades
Supongamos que r(t) y s(t) son funciones vectoriales derivables, que f(t) es una función escalar también derivable y que c es un escalar cualquiera, entonces:

Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primera derivada no es nula, decimos que se trata de una curva regular.
Al vector se le llama vector de posición de la curva y a los vectores y se les llama, respectivamente, vectores velocidad y aceleración.
De modo que la rapidez en un instante t es | | , es importante observar que la rapidez es un escalar, mientras que la velocidad un vector. 

Al vector  también se le llama vector tangente a la curva en t, y el vector:

Referencias

*http://es.slideshare.net/daemon1309/funciones-vectoriales-26902786

*http://cursos.aiu.edu/Matematicas%20Superiores/PDF/Tema%203.pdf

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Jueves 19 de Mayo

Integración de Funciones Vectoriales

La función vectorial , es una antiderivada de la función vectorial siempre y cuando:

Integral Indefinida

Si  es cualquier antiderivada de , la integral indefinida de esta se define como

Donde c es un vector constante arbitrario.

Integral Definida
Para la función vectorial , se define la integral definida de la misma :

Teorema fundamental de calculo integral (Regla de Barrow) 

Supongamos que  es una antiderivada de  en el intervalo [a,b] diremos:

 

Longitud de Arco
Teorema. Si C es la gráfica de un función F en un intervalo [a,b] y si F’ es continua en dicho intervalo, entonces
C tiene una longitud L y:

                             
Ocasionalmente se expresa la longitud de una curva C por la ecuación:
                     
La longitud de arco de curva entre dos puntos F(a) y F(b) viene dada por la fórmula: 

                    

Referencia: 

*http://mitecnologico.com/sistemas/Main/DerivacionDeFuncionesVectorialesYSusPropiedades

*http://cursos.aiu.edu/Matematicas%20Superiores/PDF/Tema%203.pdf

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Martes 24 de Mayo

Curvatura

Dada una curva regular F(t) se puede reparametrizar, de manera que la longitud de la curva entre dos puntos

 a y b coincida con la longitud del intervalo con origen en a y extremo en b; en este caso se dice que la curva está parametrizada por la longitud de arco,que llamamos.

En este caso el vector tangente siempre es unitario.

Se define la curvatura k como la variación del vector tangente respecto a la longitud de arco. 

La curvatura viene a medir como se “tuerce” la curva respecto de su longitud. Esta definición es bastante

 intuitiva, 

pero no es fácil de calcular. Para curvas, no necesariamente parametrizadas por el arco, se puede calcular como 

Referencias:

*http://cursos.aiu.edu/Matematicas%20Superiores/PDF/Tema%203.pdf

*http://www.inetor.com/definidas/integral_longitud.html

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Jueves 26 de Mayo

Vector Tangente, Normal y Binormal

VECTOR TANGENTE
Como ya lo vimos anteriormente, al vector  también se le llama vector tangente a la curva  en t, 

y el vector:

VECTOR NORMAL

VECTOR BINORMAL 

Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos forman un sistema de referencia móvil conocido como Triedro de Frénet-Serret. 

Funciones de varias variables

Una función escalar, también llamada función real de varias variables ( o de variable múltiple) es una aplicación que representamos por f:A⊆Rn⇒R(x1,x2,...,xn)⇒z=f(x1,x2,...,xn), donde el conjunto A⊆Rn se llama dominio de f, se representa por A=Dom(f)=Domf.

El dominio de f, es el conjunto de los elementos de Rn que tienen imagen mediante f, es decir:  A=Domf={(x1,x2,...,xn)∈Rn/∃f(x1,x2,...,xn)}

Llamamos imagen de la función f al conjunto de los números reales que tienen correspondencia con algún elemento del dominio, se representa porIm(f).

Im(f)={z∈R/∃(x1,x2,...,xn)∈A⊆Rn verificandoz=f(x1,x2,...,xn)}

Descriptores: 

   Funciones de varias variables

Ejemplo: 

La función f:A⊆R2⟶R definida por f(x,y)=+x2y−−−√. Es una función escalar de dos variables. Determinar su dominio y su imagen.

Dominio de la función.

∃f(x,y)⇔x2y≥0⇔y≥0⇒Dom(f)={(x,y)∈R2/y≥0}

Imagen de la función.

x2y≥0⇒+x2y−−−√≥0⇒Im(f)=[0,+∞[⊂R

Referencias:

*http://www.ub.edu/glossarimateco/content/funci%C3%B3n-escalar-o-funci%C3%B3n-real-de-varias-variables

http://www.matap.uma.es/~garvin/05Ca11/node15.html

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Martes 31 de Mayo

Dominio de las funciones de varias variables

 

Se realiza un análisis de la función si esta tiene cierta restricción para no existir sino esta en todos los reales Rn.

D{(x, y) / restricción sino los reales Rn }

Entendemos como dominio de una función de varias variables aquellos puntos del espacio origen para los cuales la función puede evaluarse.

Efectivamente si nos fijamos en los siguientes ejemplos de funciones f:R²→R.

Ejemplo: 
Vemos que si queremos evaluar la función para el caso (x,y)=(0,0) no podemos, puesto que nos encontramos con una división por cero que no puede efectuarse. Por lo tanto observamos que existe un punto para el cual la función no es evaluable. En este caso diremos que el dominio de la función es el conjunto de los puntos del espacio R² excepto el origen de coordenadas (0,0). Representando el resultado del dominio por exclusión tendremos que:
Dom f = R²-{(0,0)}

* Curvas de nivel

Las curvas de nivel de una función f(x,y) serán las curvas cuyas ecuaciones son f(x,y)= k, donde k es una constante en el rango. Las curvas de nivel sirven para realizar la topología de una 1 región .

i)La función de la temperatura, las curvas de nivel se denominan ISOTERMAS.

ii)La función de la potenciación, las curvas de nivel se denominan EQUIPOTENCIALES.

iii)La función de la Presión las curvas de nivel se denominan ISOBARAS.

Si las curvas de nivel se representan en 3D, entonces se denominan curvas de contorno

Consideremos la función z = x2 + y2. Tomando k > 0, la curva de nivel correspondiente a z = k es la circunferencia x2 + y2 = k y tomando k = 0 la curva de nivel corresponde a la descrita por los puntos (x, y) tales que x2 + y2 = 0 (que corresponde únicamente al punto (0, 0))

Referencias:

http://www.matap.uma.es/~garvin/05Ca11/node15.html

https://aula.tareasplus.com/Carlos-Zelada973/Calculo-Vectorial 

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