Teorema fundamental de la Integral de linea
Integrales de línea de campos conservativos
Recordemos el Teorema Fundamental del Cálculo para funciones de variable real.
Supongamos que g y G son funciones continuas con valores reales definidas sobre un intervalo cerrado [a , b], que G es diferenciable en (a , b) y que G´= g. Entonces:
Así, el valor de la integral de g depende sólo del valor de G en los extremos del intervalo [a , b].
Cuando el campo vectorial F es un campo gradiente (conservativo), existe un teorema equivalente al teorema fundamental del Cálculo, donde el valor de la integral de línea de campos vectoriales conservativos está completamente determinada por el valor de su función potencial f en los extremos c(a) y c(b)
Esta generalización del Teorema Fundamental brinda una técnica útil para evaluar ciertos tipos de integrales de línea.
NOTA:
Si c : [a , b] à R3 es una trayectoria C1 cerrada , esto es: c (a) = c (b) tenemos que:
El siguiente teorema ofrece varias opciones a la hora de calcular una integral de línea relativa a un campo gradiente (conservativo). Podemos usar una función potencial o cambiar el camino propuesto por otro especialmente simple.
Referencia:
http://fcm.ens.uabc.mx/~chelo/analisis%20vectorial/nucleos/capitulo3/l3_7.htm
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Jueves 04 de Agosto
Consevación de la Energía
Referencias:
https://campusvirtual.ull.es/ocw/pluginfile.php/3961/mod_resource/content/1/tema2/9-ilinea.pdf
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Martes 08 de Agosto
Teorema de Green
Una curva cerrada C que es frontera de una región elemental tiene dos orientaciones:
Ø la contraria al sentido de las manecillas del reloj (positiva)
Ø la del sentido de las manecillas del reloj (negativa)
Denotemos C con orientación opuesta a la de las manecillas del reloj por C+ , y con la orientación de las manecillas como C- (ver Figura 1)
Figura 1
La frontera de una región y-simple se puede descomponer en sus partes inferior y superior C1 y C2 y (en su caso) segmentos verticales a la izquierda y derecha B1 y B2 . Siguiendo la Figura 2, escribimos:
C+ = C1+ + B2+ + C2- + B1-
Figura 2
Podemos hacer una descomposición semejante de la frontera de una región x-simple en trozos izquierdo y derecho, y (en su caso) segmentos horizontales superior e inferior (ver Figura 3).
Figura 3
Teorema de Green:
Este teorema relaciona una integral de línea a lo largo de una curva cerrada simple en el plano con una integral doble en la región encerrada por C.
Teorema:
Sea D una región simple y sea MD su frontera descrita por una curva orientada C+. Supongamos que P : D àR y Q : D à R son de clase C1. Entonces:
 |
El Teorema de Green también es válido para regiones que se pueden descomponer en varios trozos, cada uno de los cuales es simple. Por ejemplo si la región D es un anillo y su frontera consiste en dos curvas C = C1 + C2 con las orientaciones indicadas en la Figura 4.
Figura 4
Si se aplica el Teorema a cada una de las regiones D1, D2 , D3 y D4 y se suman los resultados, se obtiene la identidad dada por el teorema de Green para D y su frontera C. El resultado es válido porque las integrales a lo largo de las líneas interiores opuestas se cancelan entre sí
El Teorema de Green es muy útil porque relaciona una integral de línea a lo largo de la frontera de una región con una integral de área sobre el interior de la región o viceversa:
Podemos usar el teorema para obtener una fórmula para calcular el área de una región acotada por una curva cerrada simple. Esto es:
Si P(x , y) = -y Q(x , y) = x, entonces:
Ejemplo 1:
Sea a > 0. Calcular el área (ver escena 5) de la región encerrada por la hipocicliode definida por:
…. x2/3 + y2/3 = a2/3
usando la parametrización:
… x = a cos3 (t) y = a sen3 (t) para 0 # t # 2Pi
Escena 5
Solución:
Según el teorema de Green y usando las identidades trigonométricas
obtenemos:
En el ejemplo anterior hemos utilizado el Teorema de Green para calcular una integral doble utilizando una integral de línea, el ejemplo siguiente ilustra una aplicación inversa.
Ejemplo 2.-
Usar el Teorema de Green para calcular la integral de línea:
donde C es la gráfica ilustrada en la Figura 5:
Figura 5
Solución:
Como P = y3 y Q = x3 + 3xy2 , se tiene:
y 
Aplicando el Teorema de Green:
=
=
=
=
=
= ¼
Referencias:
http://fcm.ens.uabc.mx/~chelo/analisis%20vectorial/nucleos/capitulo5/l6-1ab.htm
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Jueves 10 de Agosto
* Segunda evaluación del segundo bimestre
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