Abril

Martes 19 de Abril

Indicaciones generales.

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Jueves 21 de Abril


Vectores y Geometría Analítica en el Espacio

Funciones Implícitas
En  R2  F(x, y) = 0
Existen una o mas funciones:
y=f(x) ; y=f2(x)
x=g(y) ; x=g2(y)
Geometricamente estas funciones, representan una curva en el plano R2.
Ejemplo:
x^2+y^2=9

Sistemas de Funciones Implícitas

Siendo: F(x,y) = 0 Representa la intersección de las curvas generando uno o más puntos.
G(x,y) = 0

Ejemplos:

Funciones Implícitas en el Espacio 

En el espacio R3 Las funciones implícitas representan una superficie en el espacio
F(x,y,z)=0 .
Por ejemplo:

x^2+y^2+z^2 = r^2 Ecuación de una superficie esférica de centro (0,0,0) y radio = r.

Sistemas de Funciones Implícitas en el Espacio

F(x,y,z) = 0
G(x,y,z) = 0
La intersección de las superficies que representa cada función implícita genera curvas en el espacio.

Ecuaciones de la Recta en el Espacio

Una recta en el espacio queda determinada por un punto de ella A ( x1, y1, z1) y un vector director u→ = ( a, b, c)

Ecuaciones de la recta

Referencia:

http://www.vitutor.net/2/17/geometria_espacio.html
http://www.vadenumeros.es/segundo/ecuaciones-de-la-recta.html

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Martes 26 de Abril
Ecuaciones del plano en el espacio

Ecuación del plano dado un punto y el vector normal del plano.

Ecuación vectorial del plano: (r-r0).n=0

Resolviendo la ecuación anterior obtendremos una ecuación de la forma: Ax+By+Cz-Ax0-By0-Cz0=0, donde "-Ax0-By0-Cz" es igual a D, al ser valores constantes. Por tanto:
La Ecuación general del plano es: Ax+By+Cz+D=0

Casos particulares o ecuaciones incompletas del plano

i)Ax+By+Cz+D = 0 : Si C=0 --> Ax+By+D = 0   (Plano con generatriz paralela al eje OZ)

ii) Si B=0 --> Ax+Cz+D = 0   (Plano con generatriz paralela al eje OY)

iii) Si A=0 --> By+Cz+D = 0   (Plano con generatriz paralela al eje OX)

iv) Si A=0 ^ B=0 --> Cz+D = 0 (Plano paralelo al plano XOY)

v) Si A=0 ^ C=0 --> By+D = 0 (Plano paralelo al plano XOZ)

vi) Si B=0 ^ C=0 --> Ax+D = 0 (Plano paralelo al plano YOZ)

vii) Si D=0 --> Ax+By+Cz = 0 (Plano que pasa por el origen (0,0,0))

Ejemplos de gráficos: 

Ecuación segmentaria del plano

Este tipo de ecuaciones se llaman segmentarias porque los planos inclinados generan segmentos de recta al cortarse con los ejes coordenados, estos segmentos los llamaremos a,b y c.

Ecuación segmentaria del plano: X/a + Y/b + Z/c = 1

                                                     

Referencias:

*Apuntes de clase.

*http://geometria-analitica-y-algebra.blogspot.com/2012/11/la-recta-ecuacion-general-ordinaria-de.html

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Jueves 28 de Abril

Distancia de un Punto a un Plano

La distancia de un punto P a un plano π, es la menor distancia desde el punto 
a los infinitos puntos del plano.

Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el punto al plano.

Ejemplo:

Hallar la distancia del punto P(3, 1, −2) a los planos :

    y    

Plano Determinado por 3 puntos

Datos:
r1 Vector posicion del punto (X1,Y1,Z1)
r2 Vector posicion del punto (X2,Y2,Z2)
r3 Vector posicion del punto (X3,Y3,Z3)

 

PProducto mixto  

 EL PRODUCTO MIXTO ENTRE 3 VECTORES representa el volumen del paralelepipedo que tiene como aristas dichos vetores.
  

En este caso de ejemplo el volumen se lo puede calcular como
Volumen = 

Para expresar la respuesta del volumen se la debe expresar en términos de su valor absoluto.

Referencias:

* http://www.ditutor.com/distancias/punto_plano.html

* Libro - "Calculo de varias variables"  Stewart 6ª edicion.

* Anotaciones tomadas en clase

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