MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS:
MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS:
Toda
función en una región acotada diferenciable y cerrada alcanza su valor
máximo ó mínimo, ó En un punto estacionario (función no aumenta ni
disminuye por lo tanto las derivadas son = 0) ó en un punto de la
frontera de la región.
Toda
función en una región acotada diferenciable y cerrada alcanza su valor
máximo ó mínimo, ó En un punto estacionario (función no aumenta ni
disminuye por lo tanto las derivadas son = 0) ó en un punto de la
frontera de la región.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONDICIONALES:
Se
denomina extremo condicionado de una función f (x,y), al valor máximo o
mínimo de esta función alcanzado con la condición (restricción) de que
las variables independientes estén relacionados con una ecuación de
enlace: g (x,y) = 0.
Para hallar los extremos condicionados de f(x,y) con la ecuación de enlace g(x,y)= 0 , se forma la Función de Lagrange.
F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)
donde: λ : Multiplicador de Lagrange
-Se procede a hallar los puntos extremos para la función de Lagrange.
-Si tenemos: U = f(x,y,z) ; g1(x,y,x)= 0 ; g2(x,y,z)= 0
F(x,y,z,λ1,λ2) = f(x,y,z) + λ1g1(x,y,z) + λ2g2(x,y,z)
Multiplicadores de Lagrange
Ejemplo
Se
denomina extremo condicionado de una función f (x,y), al valor máximo o
mínimo de esta función alcanzado con la condición (restricción) de que
las variables independientes estén relacionados con una ecuación de
enlace: g (x,y) = 0.
Para hallar los extremos condicionados de f(x,y) con la ecuación de enlace g(x,y)= 0 , se forma la Función de Lagrange.
F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)
donde: λ : Multiplicador de Lagrange
-Se procede a hallar los puntos extremos para la función de Lagrange.
-Si tenemos: U = f(x,y,z) ; g1(x,y,x)= 0 ; g2(x,y,z)= 0
F(x,y,z,λ1,λ2) = f(x,y,z) + λ1g1(x,y,z) + λ2g2(x,y,z)
Multiplicadores de Lagrange
Ejemplo
Referencias
*Apuntes en clase.
*http://www.ub.edu/glossarimateco/content/funci%C3%B3n-escalar-o-funci%C3%B3n-real-de-varias-variables
*http://recursos.salonesvirtuales.com/assets/bloques/Ba%C3%B1uelos_Saucedo.pdf*http://www.sectormatematica.cl/seccion/derivacion.htm
___________________________________________________________________________________________
Jueves 07 de Julio
Integrales Múltiples
En R2
En R3
Integral Doble Sobre Región Rectangular
Integrales Dobles Sobre Regiones Más Generales
Propiedades de las integrales dobles
Las integrales
dobles de funciones continuas tienen propiedades algebraicas que son
útiles en los cálculos y en las aplicaciones.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
(Esta propiedad es válida cuando R es la unión de dos rectángulos R1 y R2 que no se traslapan).
Referencias:
*Cálculo de varias variables, George B.Thomas, Jr.
*http://www.ub.edu/glossarimateco/content/funci%C3%B3n-escalar-o-funci%C3%B3n-real-de-varias-variables
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Martes 12 de JulioTransformación de Integrales Múltiples
Transformación de Coordenadas Polares
Transformación de Coordenadas Cilíndricas
Transformación de Coordenadas Esféricas
Referencias:
*http://www.uoc.edu/web/esp/art/uoc/0107030/mates.html
*http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:http://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/inicio.html
___________________________________________________________________________________________________________________________________
INTEGRALES DOBLES COMO VOLÚMENES
Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular R como el volumen del prisma sólido limitado abajo por R y arriba por la superficie z = F(x, y). Cada termino f (xk, yk) "Ak en la suma Sn = 
"Ak
es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen
de la porción del sólido que está directamente arriba de la base "Ak.
La suma Sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido.
Definido este volumen como
INTEGRALES TRIPLES
Si F(x, y, z) es una función definida sobre una región D cerrada en el espacio, por ejemplo, la región ocupada por una bola sólida o una masa de arcilla, entonces la integral de F sobre D puede definirse de la siguiente manera. Subdividimos una región rectangular que contenga a D en
celdas rectangulares por planos paralelos a los planos coordenados. Las
celdas que se encuentran dentro de D de 1 a n en cierto orden; una
celda típica tendrán entonces dimensiones "xk por "yk por "zk y volumen
"x"xk. Escogemos un punto (xk, yk, zk) en cada celda y formamos la suma
Si F es continua y la superficie que limita a D está
hecha de superficies suaves unidas a lo largo de curvas continúas,
entonces cuando "xk, "yk, "zk tienden a cero independientemente, las
sumas Sn tenderán a un límite
Llamamos a este límite integral triple de F sobre D. El límite también existe par algunas funciones discontinuas.
*Cáclulo de varias variables, George B.Thomas, Jr.
*http://www.uoc.edu/web/esp/art/uoc/0107030/mates.html
*http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:http://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/inicio.html
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Martes 19 de Julio
* Primera evaluación de Seguundo Bimestre
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Jueves 21 de Julio
Jueves 28 de Julio
Referencias:
*http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA04/Campo%20vectorial.htm
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Martes 26 de Julio
Campos Vectoriales
Ejemplos de campos vectoriales, a modo de introducción:
Velocidad que muestran los patrones de viento en una región
Las corrientes oceánicas en las costas
Los flujos que se encuentran dentro de tuberías y tanques
Campos de fuerza como por ejemplo fuerza gravitacional.
En general un campo vectorial es un conjunto de puntos en R^2 o en R^3 y cuyo rango es un conjunto de vectores de U1, U2 o U3.
Definición de campo vectorial
Físicamente un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial.
Matemáticamente
se define un campo vectorial como una función vectorial de las
coordenadas o como un caso especial de una transformación no
necesariamente lineal. R^n=>R^m, en donde R^n representa el espacio vectorial que hace las veces de dominio y R^m el espacio vectorial que actúa como rango.
El campo ilustrado en la ecuación anterior es un campo vectorial R^3=>R^3,
dado que la función vectorial tiene tres componentes y cada componente
es una función de tres variables independientes.
Cuando se
modela la distribución de esfuerzos en una estructura, la distribución
de fuerzas de naturaleza electromagnética o gravitatoria en el espacio,
se hace usando campos vectoriales.
Otros
ejemplos de campos vectoriales son las funciones de velocidad asociadas a
las trayectorias de las partículas o diferenciales de volumen de una
sustancia en condiciones de flujo bien sea laminar o turbulento.
Representación de un campo vectorial
Líneas de fuerza
La
representación de los campos vectoriales se hace mediante mapas
semejantes a los de los campos escalares, pero usando líneas que
representan la continuidad de la orientación de los vectores de campo
sobre una región definida. Estas líneas reciben el nombre de líneas de
fuerza.
Al
igual que con los campos escalares, un campo vectorial no puede
representarse fácilmente en tres dimensiones, por lo que normalmente se
hacen proyecciones sobre los planos directores del sistema de
coordenadas.
Las líneas de fuerza cumplen con las siguientes propiedades:
- Los vectores de campo en cualquier punto son siempre tangenciales a la línea de fuerza que pasa por el punto dado.
- Las líneas de fuerza no se cruzan en ningún punto aunque pueden seguir trayectorias cerradas
. - La cantidad de líneas de fuerza en cualquier porción del espacio en que se encuentra definido el campo es proporcional a la intensidad del campo vectorial.
En algunas
otras ocasiones, la representación de campos vectoriales se hace a
través de los vectores de campo directamente. En estos casos, la
intensidad del campo vectorial se asocia a la densidad de vectores de
campo en una región, tanto como a la longitud de los mismos.
Trazado de las líneas de fuerza de un campo vectorial
De acuerdo
con la definición de línea de fuerza, una línea de fuerza es tangente a
los vectores de campo en todos los puntos del espacio vectorial
definido.
Referencia:
*http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA04/Campo%20vectorial.htm
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Jueves 28 de Julio
Rotacional y Divergencia
Rotacional
Se
entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia
de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define
como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un
área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero (Ecuación 1).
Aquí, /\s es el área de la superficie apoyada en la curva C ,
que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el
rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la
dirección normal a /\s y orientada según la regla
de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán
calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos
perpendiculares.
El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable en todos sus puntos.
El resultado del rotacional es otro campo vectorial que viene dado por el determinante de la siguiente ecuación:
Las propiedades más destacadas del rotacional de un campo son:
• Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces el rot (\/f) =0
• Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0
• Si el campo vectorial F(x,y,z)
es una función definida sobre todo R^3 cuyas componentes tienen
derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial conservativo.
Divergencia
La
divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo
entrante y el flujo saliente en una superficie que encierra un elemento
de volumen dV . Si el volumen elegido solamente contiene fuentes o
sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre distinta de
cero.
La
divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que
se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen
conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero, para el caso del
campo magnético la divergencia viene dada por la ecuación
donde
S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite, B es
el campo magnético, V es el volumen que encierra dicha superficie S
y \/ es el operador nabla, que se calcula de la siguiente forma:
La
divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo es
positivo, quiere decir que el campo emana hacia el exterior de dicho
punto y, por tanto, es una fuente o manantial. Si el signo es negativo,
el campo converge hacia un punto del interior del volumen, por lo que
constituiría un sumidero.
Si la divergencia fuese cero el campo neto (diferencia entre las líneas entrantes y salientes) sería nulo.
En
el caso de los campos magnéticos se ha comprobado la ausencia de
fuentes y/o sumideros de ahí que una de sus propiedades sea que su
divergencia es nula (ecuación 5).
Los campos cuya divergencia es cero se denominan campos solenoidales,
que se caracterizan porque sus líneas de campo son cerradas sobre si
mismas, es decir, no tienen extremos donde nacen o mueren. De tener
dichos extremos, el flujo neto alrededor de uno de ellos no sería nulo,
lo cual denotaría la existencia de una fuente o sumidero del campo.
Referencias:
*http://quintans.webs.uvigo.es/recursos/Web_electromagnetismo/magnetismo_rotacionalydivergencia.htm
*http://www.ugr.es/~rpaya/documentos/Teleco/Fund-Mat04.pdf
*http://fcm.ens.uabc.mx/~chelo/analisis%20vectorial/nucleos/capitulo3/l3_4.htm
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
No hay comentarios:
Publicar un comentario