Junio

Jueves 02 de Junio

Límites y Continuidad 

Sea  f(x,y) = z una función de dos variables, se dice que es continua en (Xo,Yo), si cumple:

Lim  f(x, y)  =  f (Xo, Yo)

(X, y)— (0,0)

Para saber si el límite existe realizamos lo siguiente:

Si:                                                                 І f(x,y) - L І < Є

Entonces:                                                І (x,y) – (x1,y1) І < δ

√(〖(X-X1)〗^2+〖(Y-Y1)〗^2 ) < δ
〖(X-X1)〗^2+〖(Y-Y1)〗^2 < δ^2

Entonces podemos decir que el limite existente es el mismo por todos los caminos  de aproximación por todos lo puntos infinitos del  circulo.

Se puede determinar la existencia del limite por medio de transformación a coordenadas polares:

CONTINUIDAD 

Se dice que f(x,y) es continua en (a,b) si se cumple que: 

O también si: 

Si no se cumple con alguna de las condiciones entonces se dice que f(x,y) es discontinua en (a,b) y puede ser: 

• Discontinua inevitable 

        

• Discontinua evitable se puede redefinir 

        

        

Referencias

* http://www.matap.uma.es/~garvin/05Ca11/node15.html

*Apuntes en Clase

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Martes 07 de Junio

DERIVADAS PARCIALES 

En tercera dimensión 

                        donde x,y son variables independientes

                         z es variable dependiente 

• Cuando derivamos parcialmente respecto a x, la variable y se toma como constante 

• Cuando derivamos parcialmente respecto a y, la variable x se toma como constante 

• Se aplican todas las reglas de derivación 

Interpretación geométrica de las derivadas parciales:

Referencias
*http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/funciones_vv.htm
*https://sites.google.com/site/portafoliomatematicasiiidahh/segundo-parcial/breve-resumen-de-los-temas-vistos-en-clase
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Jueves 09 de Junio

Interpretación física de la derivadas parciales:

Las derivadas parciales de z = f (x,y) representan las Razones de Cambio de la variable "z", cuando "x" varia manteniendo fija "y" o viceversa.  

Se puede hablar de tasas o índices de cambio.

Derivación Implícita

Funciones explícitas y funciones implícitas

En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación

dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.

Si queremos hallar la derivada    para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x ^-1, obteniendo su derivada fácilmente: 

.

El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x² - 2y³ + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?

El método de regla de la cadena para funciones implícitas

Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.

Ejemplo

Hallar   , de la función implícita:

Aplicando la notación   , a cada término y extrayendo las constantes;

.

En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.

.

La regla de la cadena se aplica el término   , como puede observarse a 

continuación claramente en el segundo paréntesis,

quitando paréntesis y ordenando los términos,

,

pasando algunos términos al lado derecho,

extrayendo el factor común  ,

y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:

Referencias:

*https://sites.google.com/site/frabicaciondelatasdecervezam2/3-contenidos/derivacion-parcial-implicita

*http://www.lemat.unican.es/lemat/proyecto_lemat/derivadas/nivel3/teoria/derivadas12.htm

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Martes 14 de Junio

Plano tangente y recta normal a una superficie

Se llama plano tangente a una superficie en un punto P de la misma, al plano que contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P.

Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y es perpendicular al plano tangente.

Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación F(x,y,z)=0, entonces la ecuación del plano tangente en un punto de la superficie viene definido por la ecuación:

y la recta normal por:

Si la ecuación de la superficie está definida de manera explícita z = f(x,y) entonces la ecuación del plano tangente en el punto viene definida por:

y la ecuación de la recta normal:

La ecuación del plano tangente se puede utilizar para calcular el valor aproximado de una función. Gráficamente significa medir el valor de la función sobre el plano tangente y no sobre la superficie.

Ejemplo

 Halla la ecuación del plano tangente y de la recta normal a la superficie de ecuación

en el punto P(1,2,3).

Solución:

Hallamos las derivadas parciales:

 ; 

En el punto P(1,2,3) las derivadas parciales son:

;

Luego la ecuación del plano tangente en el punto P(1,2,3) es:

, o bien, simplificando 

y la ecuación de la recta normal es:

DERIVADA DIRECCIONAL

Gradiente

Gradiente Se llama gradiente en un punto de una función real de varias variables reales al conjunto ordenado de las derivadas parciales de esa función en ese punto. Por tanto, el gradiente de una función f (x , y,z) en el punto (x0, y0, z0) es:

Derivada Direccional

Cada vector del espacio ordinario tiene un módulo y una dirección. Cuando se fija un vector dr =( dx,dy,dz) = dxi + dyj + dzk dando valores concretos a dx,dy,dz , se fija su módulo y su dirección. Cada valor de la diferencial de la función f en un punto ( x, y,z )es el producto escalar de su gradiente en ese punto por un vector dr, es decir,

Referencias  

*http://www.ub.edu/glossarimateco/content/funci%C3%B3n-escalar-o-funci%C3%B3n-real-de-varias-variables

*http://www.sectormatematica.cl/seccion/derivacion.htm

*http://www.matap.uma.es/~svera/probres/pr3/pr3a2.html

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Jueves 16 de Junio

*Explicacion de los ejercicios del exámen

*Realizacion voluntaria de 2 ejercicios extras al exámen

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Martes 21 de Junio

 Derivadas parciales de orden superior 

Una vez que hemos calculado alguna derivada parcial de:

podemos volver a calcular las derivadas parciales de estas funciones (siempre que existan). De esta

manera a partir de

f (x, y)

calculamos las derivadas primeras de f,

y a partir de estas, calculando sus derivadas parciales obtenemos las derivadas parciales de orden

2 o derivadas parciales segundas de f,

Para simplificar la notación llamaremos:

En general, la derivada de orden m

Referencias  

*http://www.cartagena99.com/recursos/matematicas/apuntes/derivadas_parcialesyDireccionales.pdf

*http://www.ub.edu/glossarimateco/content/funci%C3%B3n-escalar-o-funci%C3%B3n-real-de-varias-variables

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Jueves 23 de Junio

Diferenciales 

• En R2   

Incrementos

El incremento Dx de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x₀ a otro x = x₁ de su campo de variación. Así, pues,

o bien

Si se da un incremento Dx a la variable x, (es decir, si x pasa de x = x₀ a x = x₀ + Dx), la función y = f (x) se verá incrementada en Dy = f (x₀ +Dx) - f (x₀) a partir del valor y = f (x₀). El cociente

recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre x = x₀ a x = x₀ + Dx. 

Pendiente

[Si h ¹ 0, entonces los dos puntos distintos (a, f (a)) y (a+h, f (a+h)) determinan, como en la figura 6, una recta cuya pendiente es

Figura 6.

Como indica la figura 7, la 'tangente' en (a, f (a)) parece ser el límite, en algún sentido, de estas 'secantes', cuando h se aproxima a 0. Hasta aquí no hemos hablado nunca del 'límite' de rectas, pero podemos hablar del límite de sus pendientes: La pendiente de la tangente (a, f (a))debería ser

Figura 7.

• En R3

                 f:  R^2                     R

            (x,y)                       Z= f: (x, y)

  INCREMENTOS PARCIALES

 ΔZx = f (x, y + Δx) - f (x , y)

        ΔZy = f (x, y + Δy) - f (x , y)

INCREMENTO TOTAL

ΔZ = f (x + Δx, y + Δy) - f (x , y)

OJO

ΔZ ≠  ΔZx +  ΔZy

Se puede concluir que :

dz = ∂z/∂x dx + ∂z/∂y dy

• En R4

dw = ∂w/∂x dx + ∂w/∂y dy + ∂w/∂z dz

Referencias

*Apuntes en Clase

*http://www.sectormatematica.cl/seccion/derivacion.htm

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Martes 28 de Junio

Regla de la cadena

Caso de una variable independiente:

Sea z=F(x,y) una función suave, es decir, con derivadas parciales continuas y supongamos que tanto x como y son funciones de un parámetro t y ambas tienen derivadas respecto de t. Entonces z=F(x(t),y(t)) es una función compuesta. Un cambio en t afectará a las variables x e y, por lo tanto se producirá un cambio en z. Es razonable preguntarse por la razón de cambio de z respecto a t. Esta derivada puede obtenerse:

dz dt = ∂ z ∂ x  .  dx dt + ∂ z ∂ y  .  dy dt

Caso de dos variables independientes:

Sea z=F(x,y) una función suave, es decir, con derivadas parciales continuas y supongamos que tanto x como y son funciones de dos parámetros, s y t, existiendo también sus derivadas parciales respecto a estas variables. Entonces z=F(x(t,s),y(t,s)) es derivable parcialmente y se cumple:

∂z ∂s = ∂z ∂x ⋅ ∂x ∂s + ∂z ∂y ⋅ ∂y ∂s ∂z ∂t = ∂z ∂x ⋅ ∂x ∂t + ∂z ∂y ⋅ ∂y ∂t

Referencias:
http://www.lemat.unican.es/lemat/proyecto_lemat/derivadas/nivel3/teoria/derivadas12.htm
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Jueves 30 de Junio

Máximos y Mínimos o Puntos Extremos 

 MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS:

Ejemplo

Punto de silla
Considerando la superficie definida, conocida como paraboloide hiperbólico.En el punto (0, 0), ambas derivadas parciales son 0. Sin
embargo, la función fno tiene un extremo relativo en este punto ya que en todo disco abierto centrado en (0, 0) la función asume valores negativos (a lo largo del eje x) y valores positivos (a lo largo del eje y). Por tanto, el punto (0, 0, 0) es un punto silla de la superficie.

Criterio de la Segunda Derivada

 MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS:

Toda función en una región acotada diferenciable y cerrada alcanza su valor máximo ó mínimo, ó En un punto estacionario (función no aumenta ni disminuye por lo tanto las derivadas son = 0) ó en un punto de la frontera de la región.

 MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONDICIONALES:

Se denomina extremo condicionado de una función f (x,y), al valor máximo o mínimo de esta función alcanzado con la condición (restricción) de que las variables independientes estén relacionados con una ecuación de enlace: g (x,y) = 0.

Para hallar los extremos condicionados de f(x,y) con la ecuación de enlace g(x,y)= 0 , se forma la Función de Lagrange.

F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)

   donde:   λ : Multiplicador de Lagrange    

-Se procede a hallar los puntos extremos para la función de Lagrange.

-Si tenemos:    U = f(x,y,z)  ;  g1(x,y,x)= 0  ; g2(x,y,z)= 0

F(x,y,z,λ1,λ2) = f(x,y,z) + λ1g1(x,y,z) + λ2g2(x,y,z)

Referencias  

*Apuntes en clase.

*http://www.ub.edu/glossarimateco/content/funci%C3%B3n-escalar-o-funci%C3%B3n-real-de-varias-variables

*http://www.sectormatematica.cl/seccion/derivacion.htm

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